Les p-adiques sur la route des Chryzodes_2
Décomposition canonique de Hensel
honeypot


Soit p un nombre premier.

Tout élément non nul (r) de Qp :
  • en particulier tout élément de Q ;
s'écrit de manière unique sous la forme :
   ∞
r  =   ∑ ai pi
    i = k
où :
  • k Z ;
    • ai sont des nombres entiers tels que :
      • ak ≤ p-1
Cette écriture est :
  • la décomposition canonique de r :
    • comme nombre p-adique.
Cette série :
  • est convergente ;
suivant la métrique p-adique.

On note Zp l'ensemble des éléments de Qp tels que k ≥ 0 :
  • on appelle Zp l'ensemble des entiers p-adiques.
Zp est un sous-anneau de Qp.

On peut représenter :
  • un entier p-adique :
    • par une suite infinie :
  • vers la gauche :
    • de chiffres :
      • en base p ;
tandis que les nombres rationnels purs (fractions irréductibles) de Qp , eux ;
  • auront un nombre fini :
    • de chiffres :
      • à droite de la virgule.
Cette écriture :
  • fonctionne en somme à l'inverse de :
    • ce que l'on a l'habitude de rencontrer :
      • dans l'écriture des nombres réels.
Exemple, avec p=2 :

Observons une propriété héréditaire :
  • ......0012 + ......0012 = ......0102 ;
En effet, additionner 12 avec 12 en 2-adique :
  • conduit à décaler vers la gauche :
    • une retenue :
      • tout le long de l'écriture ;
        • pour finalement donner uniquement des 0.
1  = 1 (20 )  = ..........000000000000000012 (le 2 en indice indiquant qu'il s'agit du développement 2-adique, ou binaire, de 1)

          ∞
-1 =   ∑ 2n  = ..........11111111111111111112

       n = 0

Une autre approche raisonnable méthodique :
  • pour arriver à ce même résultat :
    • est de considérer la relation :
  ∞                  ∞               
  ∑ 2n     +     
∑ 2n   =  2  ∑ 2n = 21 [(1)20 + (1)21 + (1)22 + ....]
n = 0
            n = 0
           n = 0

                                                  =      [(1)21 + (1)22 + (1)23 + ...
]
            ∞                                       ∞
      =  
∑ 2n  =  -1+1 +
∑ 2n = -1 + ∑ 2n   = -1 + [(1)20 + (1)21 + (1)22...]
          n = 1                 
n = 1          n = 0
                                                                      =       0 +
..........1111111111112
                                                                      = ......................1111111111112

En effet, nous retrouvons la propriété héréditaire 012 + 012 = 010
2
ci-dessus.


Donc :
          ∞
-1 =   ∑ 2n  = ..........11111111111111111112

       n = 0

par simplification.

Cet argument, évidemment, suppose que la notation :

          ∞
-1 =   ∑ 2n  = ..........11111111111111111112

       n = 0


ait un sens, c'est-à-dire que la série soit convergente :
  • ce qui est le cas pour la métrique 2-adique ;
on se reportera à l'article :
  • série divergente ;
pour l'analyse d'autres calculs de ce genre.

*********************************************
Soit :
                ∞
1/3 = 1 +
∑ 22n+1  = .................010101010112 :
              n = 0
en multipliant ce résultat par 3 =............0000112 , on retrouve 1.

On observe que 1/3 est un entier 2-adique (i.e. 1/3
Z2).

Mais on le savait déjà en observant sa valuation :
  • v2(1/3) = v2(1) - v2(3) = 0 - 0 = 0.
En effet, comme p=2 est un nombre premier, et n=1 un entier non nul, la valuation 2-adique de 1 est le plus grand entier k tel que 2k divise 1. Soit k=0.
De même,
la valuation 2-adique de 3 est le plus grand entier k ' tel que 2k ' divise 3. Soit k '= 0.
*********************************************
   ∞
  
∑ 2f       où    f = 2n
 n = 0

représente un élément de Q2 (et même de Z2) qui n'est pas dans Z.

*********************************************
Le polynôme 2X2+X+2 :
se factorise dans Z2 ;
sous la forme (X-a) (2X-b) ;
avec a = .............01110010001001101102 ;
        b = .............00011011101100100112 ;
alors qu'il est irréductible dans Q ou R.

On a :
  • 2a+b = -1 ;
  • ab = 2.
*********************************************
Un autre exemple, avec p=7 :

2 n'a pas de racine carrée dans Q :
  • mais en possède deux :
    • dans Q7 ;
à savoir :

√2  = ...162442464426403610543655366231641120112664212162137 ;

et son opposé :

-
√2 =...504224202240263056123011300435025546554002454504547 ;

Comment calculer dans Qp

L'addition dans (
Qp ; +) est tout à fait similaire à l'addition dans (R ; +) :
  • avec le même système de retenues :
Exemple : dans Q5

         ..13131321415          on a : 4+4=8=5+3 ; (5 est un reste)
      +  ...1 1 21 425                  : 3+2=5+0 ;    
(5 est un reste)
      = ..10 0 04 335

La multiplication se fait de même :

Exemple : dans Q5

           1435           3x2=6=5+1 ;        
(5 est un reste)
       x    325           4x2=8=5+3 ; 3x3=9=5+4 ; 4x3=12=2(5)+2
       *******
           213115 =     34 15
   +  32214,05
  = 1034,05
       ********   ********
                         
11 23 15

La division de deux entiers dans Z

Écrire 1/3 dans Q7

Nous observons
1/3 Z7 :
  • car sa valuation 7-adique est 0.
En effet, observons sa valuation :
  • v7(1/3) = v7(1) - v7(3) = 0 - 0 = 0.
En effet, p=7 étant un nombre premier :
  • n=1 un entier non nul ;
    • la valuation 7-adique de 1 :
      • est le plus grand entier k :
        • tel que 7k divise 1.
          Soit k=0.

De même :
  • la valuation 7-adique de 3 :
    • est le plus grand entier k ' :
      • tel que 7k ' divise 3.
        Soit k '= 0.

Il existe donc :
  • 1/3 = ...a2 a1 a0 ;
    • ai sont des nombres entiers tels que :
      • ai ≤ (6 = 7-1).
Nous venons d'établir que 3 est inversible dans Q7 :
  • modulo 7 ;
    • puisque (3) 5 = 15 = 1 + (2) 7 ≡ 1[7]
Ceci permet d'utiliser le petit théorème de Bézout :
  • a et b sont deux entiers naturels :
    • différents de 0 :
      • tels que :
        • pgcd(a,b) = d
  • ∃ (u,v) ∈ ZxZ | au+bv = d
    • d = 1 = 15 - 14 = (3) 5 - (2) 7        (* théorème de Bézout)
  • en multipliant par 1/3 les deux membres de l'équation on a :
    • 1/3 = (5) 70+ (-2/3) 71
À ce stade on a le premier terme 5 de 1/3 = ...a2 a1 a0 dans Q7  soit  :
  • 1/3 =  ...a2a157 ;
Ceci permet d'utiliser le théorème de décomposition canonique de Hensel en base p = 7.

             ∞                  ∞
1/3  =   ∑ ai 7i = 5 + ∑ ai 7i
          i = 0              i = 1

Essayons d'obtenir une périodicité d'équation type : y = x +y7.

Peut-on itèrer (-2/3) dans :
  • la décomposition canonique de Hensel ;
de 1/3 = (5) 70+ (-2/3) 71 + ... + ai7i ?

Multiplions (*) par -2 l'équation :
  • 1 = (3) 5 - (2) 7                       (* théorème de Bézout) ;
on a :
  • -2 = (-2) (3) 5 - (-2) (2) 7 ;
arrangeons en faisant apparaitre :
  • l'expression type (x + y 7) ;
pour obtenir des facteurs ai de 7i tel que ai {0,1,2,3,4,5,6} :

-2 =
-30 + (4) 7                         expression type (x + y 7)
    = [12 - 6 (7)] +
(4) 7
    = 3 [4 - 2 (7)] +
(4) 7
    =
3 (4) + [4-3 (2)] 7
    = 3 (4) + 3 [(4/3) - (3/3) 2 ] 7
    = 3 (4) + 3 [(4/3) - (6/3)] 7
    = 3 (4) + 3 (-2/3) 7
    = 3 [4 + (-2/3) 7]

en multipliant par 1/3 les deux membres de l'équation on a :

-2/3 = 4 +
(-2/3) 7

on a une périodicité dans l'équation type : y = x +y7, puisqu'on itère (-2/3).

Ceci permet d'utiliser le théorème de décomposition canonique de Hensel en base p = 7.

          ∞                  ∞
1/3 = ∑ ai 7i = 5 + ∑ ai 7i
        i = 0             i = 1

Au bilan, d'après le théorème de Bézout ci-dessus :

1/3 = 5 (70) +
(-2/3) 71
      = 5 (70) +
[4 + (-2/3) 7] 71            équation type : -2/3 = 4 + (-2/3) 7
      = 5 (70) +
4 (71) + (-2/3) 72
      =
5 (70) + 4 (71) + [4 + (-2/3) 7] 72
      =
5 (70) + 4 (71) + 4 (72) + (-2/3) 73
      =
5 (70) + 4 (71) + 4 (72) + [4 + (-2/3) 7] 73
      =
5 (70) + 4 (71) + 4 (72) + 4 (73) + (-2/3) 74
      =
...
     
= 5 (70) + 4 (71) + 4 (72) + 4 (73) + ... + 4n-1 (7n-1) + [4n + (-2/3) 7] 7n

c'est-à-dire :

1/3 = 5 (70) + 4 (71) + 4 (72) + 4 (73) + ... + 4n (7n) + ...

d'où l'écriture 7-adique :

1/3 = ...444444444444444444444444444444444444444444444457


Écrie 4/21 dans Q7

Remarquons tout d'abord que 4/21 ∉ Z7

En effet, observons sa valuation :
  • v7(4/21) = v7(4) - v7(21) = 0 - 1 = -1.
En effet, p=7 étant un nombre premier :
  • n=4 un entier non nul ;
    • la valuation 7-adique de 4 :
      • est le plus grand entier k :
        • tel que 7k divise 4.
          Soit k=0.

  • De même :
    • la valuation 7-adique de 21 :
      • est le plus grand entier k ' :
        • tel que 7k ' divise 21.
          Soit k '= 1.

Un Théorème de Kummer affirme que :
  • la valuation p-adique de (n,m) ;
    • c'est à dire le nombre de fois :
      • qu'on peut diviser (n,m) par p ;
  • est égale :
    • au nombre :
  • de retenues :
    • dans l'addition :
  • de m et de n-m :
    • en base p.
Or, la valuation 7-adique de 4/21 est -1 :
  • ce sera donc un nombre 7-adique "à virgule".
On écrit : 4/21 = 4 /[(3(7)] = (1/7) [4 (1/3)]

Or on sait que
1/3 = ...444444444444444444444444444444444457

donc en additionnant :


   1/3 = ...44444444444444457

+
1/3 = ...44444444444444457 on a : 5+5=10=3+ (1) 7 retenue 1
= 2/3 = ...22222222222222237           4+4+1=9=2+
(1) 7

Donc :

   
2/3 = ...22222222222222237
+ 2/3 = ...22222222222222237
= 4/3 = ...44444444444444467

en multipliant directement par 4 :

  1/3 = ...44444444444444457

x                                           4     on a : 4 (5)=20=6+2 (7)
retenue 2
  4/3 = ...44444444444444467               4 (4)+2=18=4+2 (7)

Il ne reste plus qu'à diviser par la base 7 :
  • mais ceci revient à décaler la virgule :
    • vers la gauche (on est en base 7) :
      • 4/21 = ...44444444444444444444444444444,6
Propriétés
Non-dénombrabilité

L'ensemble des entiers p-adiques :
  • n'est pas dénombrable :
    • car la décomposition de Hensel ci-dessus :
      • implique qu'il est équipotent :
        • à {0,1,2,...,p-1}N
Propriétés algébriques

Les nombres p-adiques :
  • contiennent les nombres rationnels :
    • forment un corps :
      • de caractéristique nulle.
Un nombre positif xo :
  • est rationnel :
    • si, et seulement si ;
  • son développement p-adique :
    • est périodique :
  • à partir d'un certain rang ro ;
    • c'est-à-dire :
  • s'il existe :
    • 2 entiers ro ≥ 0 ; k>0 :
  • tel que pour tous entiers n ≥ ro ;
    • an+k=ak ;
  • La suite an représentant :
    • le développement p-adique :
  • du nombre positif xo.
Il n'est pas possible d'en faire un corps totalement ordonné :
  • puisque le lemme de Hensel permet de montrer que :
    • dans Z2 :
      1. -7 est un carré ;
      2. pour p > 2 :
        • -(p-1) est un carré :
          • dans Zp.
Topologie
sur l'ensemble
des entiers p-adiques
est celle de
l'ensemble de Cantor

La topologie sur l'ensemble des nombres p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor :
  • privé d'un point :
  • qui serait naturellement appelé infini.
En particulier :
  • l'espace des entiers p-adiques :
    • est compact ;
tandis que :
  • l'espace des nombres p-adiques :
    • ne l'est que localement.
En tant qu'espaces métriques :
  • les entiers et les nombres p-adiques :
    • sont complets.
Les nombres réels :
  • n'ont qu'une seule extension algébrique propre ;
les nombres complexes.

En d'autres termes, cette extension quadratique est algébriquement close.

En revanche :
  • la clôture algébrique :
    • des nombres p-adiques :
  • est de degré infini.
Les corps Qp :
  • ont une infinité :
    • d'extensions algébriques :
      • non équivalentes.
De plus, la clôture algébrique d'un Qp n'est pas complète.

Sa complétion métrique :
  • est appelée Ωp ;
    • elle est algébriquement close.
Le corps Ωp :
  • aussi noté Cp ;
est abstraitement isomorphe :
  • au corps C des nombres complexes ;
    • il est possible de considérer Ωp comme Cp ;
      • muni d'une métrique exotique.
Cependant :
  • l'existence d'un tel isomorphisme :
    • est une conséquence :
      • de l'axiome du choix ;
  • il n'est pas possible d'en expliciter un.
Les nombres p-adiques :
  • contiennent le ne corps cyclotomique :
    • si et seulement si :
  • n divise p-1.
Exemple :
  • les 1er, 2e, 3e, 4e ;
    • 6e et 12e corps cyclotomiques :
  • sont des sous-corps de Q13.
Le nombre e défini par la série :
  • ∑ 1/n! ;
n'est élément d'aucun des corps p-adiques.

Cependant, ep défini par la série :
  • ∑ pn/n! ;
est un nombre p-adique :
  • sauf si p=2 ;
mais e4 est un nombre 2-adique ;
  • aussi e ;
    • défini comme une racine p-ième de ep ;
  • est un élément :
    • de la clôture algébrique :
      • de n'importe quel corps p-adique ;
  • ainsi :
    • quel que soit p :
      • e ∈ Cp.
Sur les nombres réels :
  • les seules fonctions :
    • dont les dérivées sont nulles :
  • sont les fonctions constantes.
Ceci n'est pas vrai :
  • sur les nombres p-adiques.
Exemple, la fonction

f : Qp → Qp | x → {1/(|x|p)}2 si x ≠ 0 ;

f : Qp → Qp | x → 0               si x = 0 ;


possède une dérivée nulle :
  • en tous points ;
mais n'est même pas constante localement en 0.

Si on se donne les éléments :
  • r, r2, r3 ;
  • r5, r7, ... ;
    • respectivement membres de R, Q2, Q3, Q5, Q7, ... ;
  • il est possible :
    • de trouver une suite (xn) de Q :
      • telle que la limite des xn dans R soit r ;
  • pour tout nombre p premier ;
    • elle soit rp dans Qp.
 
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