epure
Les p-adiques
sur la route des Chryzodes


Nous sommes, là, dans le domaine réel des idées mathématiques.

Des idées ayant bien résistées à toutes confrontations :
  • prévision(théorique) vs résultat(pratique) ;
de l'expérience :
  1. sonder les fondements ;
  2. scruter les principes ;
  3. secouer les procédés, méthodes & formules.
Plus particulièrement en théorie des nombres!

Apprenons à convenir! Intuition, construction, convention, ...
Apprenons à construire une base!

Attention au choix & respect de la base de départ!

En effet : 1+1=1.02 en binaire, et 28 en octal !
Notez l'importance de la base décimale10.

De la multitude dispersée d’éléments de la base de départ, ici R, nous nous assemblons en notre unique domaine (pour le prolongement par continuité de l'unité-symbiotique) dans K de la base de départ, K ⊂ R.
Puis, suivant notre logique nous convenons de lois causales & conventions pour unir nos devoirs à nos droits (pour le prolongement par continuité de l'égalité en droit) dans tout notre domaine (pour le prolongement par continuité de l'universalité) dans K restreint dans la base de départ R.

Convenons que :
si p est un nombre premier, élément de l'ensemble :
  • {2, 3, 5, 7,
    11, 13, 17, 19,
    23, 29,
    31, 37,
    41, 43, 47,
    53, 59,
    61, 67,
    71, 73, 79,
    83, 89,
    97, ...} :
alors un nombre p-adique :
  • se trouve être un objet.
Objet qui peut se concevoir comme :
  • une suite de chiffres :
    • en base p ;
éventuellement infinie à gauche de la virgule, mais toujours finie à droite de la virgule.

Si on convient de munir d'une Loi addition (+) et d'une autre Loi multiplication (x) :
  • où les lois (+, x) sont utilisées selon les mêmes procédés, méthodes et formules que pour les nombres décimaux usuels (ex: 0,75=75/100) ;
alors l'ensemble :
  • des nombres p-adiques ;
forme un corps (+ , x) commutatif, noté Qp.

A présent, Convenons qu'un nombre 2-adique peut être parfois appelé « diadique » mais ne doit pas être confondu avec une fraction dyadique.

A présent, Convenons qu'un nombre 3-adique est parfois appelé « triadique ».


A présent, Convenons que Chaque corps Qp :
  • des nombres p-adiques ;
est construit par complétion :
  • du corps Q des nombres rationnels :
lorsque Qp est muni d'une valeur absolue, dite valeur absolue p-adique.

Cette construction s'apparente à celle du corps R (+, x) des nombres réels par complétion du corps Q (+, x) des rationnels, et cela, suivant la valeur absolue usuelle.

La principale motivation ayant donné naissance aux corps (+, x) des nombres p-adiques était de pouvoir utiliser les procédés, méthodes & formules des séries entières dans la théorie des nombres.

Mais leur utilité dépasse aujourd’hui de beaucoup ce cadre.

De plus, la valeur absolue p-adique sur le corps Qp étant une valeur absolue non archimédienne, on obtient :
  • sur ce corps Qp ;
une analyse (science des inégalités) différente de l'analyse usuelle, sur les réels, que l'on appelle analyse p-adique.



Revenons à notre thème d'étude : La construction d'une base.

Construction
Approche analytique

Les nombres réels :
  • sont définis comme étant des :
classes d'équivalence :
  • des suites de Cauchy :
des nombres rationnels.

Cependant, observons que :
  • cette définition repose sur la métrique choisie ;
et en choisissant une autre métrique :
  • d'autres nombres :
    • autres que les nombres réels ;
  • peuvent être construits.
La métrique :
  • usée pour les nombres réels :
est appelée métrique euclidienne.

Pour :
  • un nombre premier donné : p ;
on peut convenir de définir :
  • la valeur absolue p-adique sur Q ;
comme suit, on appelle : valuation p-adique
  • d'un entier (a)
    • non nul :
      • (et l'on note vp(a)) ;
l'exposant de p :
  • dans la décomposition de (a)
    • en produit de
      • facteurs premiers :
        (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...).
on peut convenir de construire une valuation pour tout nombre rationnel : (r) ; non nul en posant :
  • vp(a / b) = vp(a) - vp(b)                [où   r = a / b]
On prouve aisément que cette définition :
  • est indépendante
    • du représentant (1/2 ; 2/4 ; 3/6 ; ...)
      • du rationnel (r)
        choisi.
La valeur absolue p-adique : |r|p ; d'un rationnel (r) non nul vaut :
  • (1/p)vp(r)
Cette valeur absolue est dite normalisée.

On pourrait prendre bvp(r) :
  • pour tout réel positif : 0<b<1.
On obtiendrait une valeur absolue équivalente (même topologie).

L'avantage :
  • de la normalisation précédente :
est la « formule du produit » (immédiate) :
  • |r|∞ . Πp |r|p   =   1
pour tout rationnel : r ; non nul ;

où |.| est la valeur absolue usuelle sur Q.

Cette formule montre que :
  • les valeurs absolues sur Q :
    • (à équivalence près) ;
  • ne sont pas indépendantes.
Si (r) est nul, on pose : |r|p = 0.

Ce prolongement :

est compatible avec l'idée que 0 est divisible par pk :
pour toute valeur de (k) ;

donc que :

la valuation de 0 ;
serait infinie.

En quelque sorte :

plus (r) est divisible par p ;
plus sa valeur absolue p-adique est petite ;
(c'est un cas particulier de valuation discrète, un outil algébrique).

Exemple :
si r = (a / b) = (63 / 550) ;
= [9 (7)] / [2 (25) 11] ;
= [32 (7)] / [2 (52) 11] ;

alors r = 2-1 (32) 5-2 (71) 11-1 ;

|r|2 = (1/p)vp(r) = (1/2)v2(63/550) ;
= (1/2)v2(63) - v2(550) = 2 ;
En effet, comme p=2 est un nombre premier, et n=63 un entier non nul, la valuation 2-adique de 63 est le plus grand entier k tel que 2k divise 63. Soit k=0.
De même, la valuation 2-adique de 550 est le plus grand entier k ' tel que 2k ' divise 550. Soit k '=1.
|r|3 = (1/p)vp(r) = (1/3)v3(63/550) ;
= (1/3)v3(63) - v3(550) = 1/9 = 1/(32) ;
|r|5 = (1/p)vp(r) = (1/5)v5(63/550) ;
= (1/5)v5(63) - v5(550) = 25 = 52 ;
|r|7 = (1/p)vp(r) = (1/7)v7(63/550) ;
= (1/7)v7(63) - v7(550) = 1/7 ;
|r|11= (1/p)vp(r) = (1/11)v11(63/550) ;
= (1/11)v11(63) - v11(550) = 11
|r|p = 1 pour tout autre nombre premier.

On démontre que cette application :

a toutes les propriétés :
d'une valeur absolue.

On peut montrer que :

toute valeur absolue (non-triviale) sur Q est équivalente :
soit à la valeur absolue euclidienne ;
soit à une valeur absolue p-adique (théorème d'Ostrowski).

Une valeur absolue p-adique définit une métrique dp sur Q en posant :

dp(x,y) = |x-y|p ;

Le corps Qp :

des nombres p-adiques ;

peut alors être défini comme :

la complétion de l'espace métrique (Q ; dp).

Ses éléments sont :

les classes d'équivalences :
des suites de Cauchy ;
où deux suites :
sont dites :
équivalentes :
si leur différence converge vers zéro.

De cette façon :

on obtient :
un espace métrique complet ;
qui est aussi un corps :
qui contient Q.

Cette construction :

permet de comprendre :
pourquoi Qp est un analogue arithmétique de R.

Quelques différences entre Qp et R

Outre le fait que, par construction :

Qp et R sont des espaces métriques complets

il faut avoir noté que :

le monde p-adique se comporte de façon très différente du monde réel

et ceci commence par le fait que :

la distance dp est ultramétrique

au sens où :

dp(x ; z) < ou = max [dp(x ; y) ; dp(y ; z)]

pour tous x ; y ; z dans Qp.

Conséquences (non exhaustives)

tout triangle est isocèle ;
toute boule est centrée en n'importe lequel de ses points ;
deux boules sont soit incluses l'une dans l'autre, soit disjointes ;
dans Qp : la suite (pn)n∈N tend vers 0 ;
si dans Qp une suite (un) converge vers un élément x non nul ;
alors |un|p est constante à partir d'un certain rang ;
une suite (un) est de Cauchy si et seulement si :
lim u(n+1)-un = 0 ;
n → ∞ ;
une série Sigma (an) converge si et seulement si :
lim an = 0 ;
n → ∞ ;
Qp n'est pas :
un corps totalement ordonnable (cf infra, Propriétés algébriques) ;
Qp est un espace totalement discontinu :
c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre composante connexe ;
la suite (5/7)n :
n → ∞ ;
tend vers 0 dans R et Q5 ;
mais vers l'infini dans Q7 ;
dans les autres Qp, elle ne converge pas ;
etc...

Construction
Approche algébrique

Dans cette approche algébrique :

on commence par définir l'anneau :
commutatif :
des entiers p-adiques ;

puis par construction :

le corps des fractions :
de cet anneau :
pour obtenir le corps des nombres p-adiques.

On définit :

l'anneau des entiers p-adiques Zp ;

comme :

la limite projective des anneaux Z / pnZ.

Un entier p-adique est alors :

une suite (an)n ≥ 1 ;
telle que pour tout n ≥ 1 :
an ∈ Z /pnZ ;
an ≡ an+1 (mod pn) (congruence modulo pn).

Exemple :

35 :
en tant que nombre 2-adique ;
serait la suite (1,3,3,3,3,35,35,35 ...).

Explication :

35 = 1 + 21 + 25 ;
que l'on peut aussi écrire :
35 = (1 x 20) + (1 x 21) + (0 x 22) + (0 x 23) + (0 x 24) + (1 x 25) + (0 x 26) + ...

La suite (an) s'obtient en faisant :

les sommes cumulées des xi2i (où xi ∈ {0;1}) :
a1=1,
a2=1+2=3,
a3=1+2+0=3,
a4=1+2+0+0=3,
a5=1+2+0+0+0=3,
a6=1+21+0+0+0+0+25=35 ...

On a bien :

pour tout n ≥ 1 :
0 ≤ an < 2n ;
an ≡ an+1 (mod 2n) ;
puisque an+1 = an + xn+12n+1.

L'addition et la multiplication de telles suites sont bien définies :

puisqu'elles commutent :
avec l'opérateur modulo ;
(voir arithmétique modulaire).

De plus :

toute suite (an) :
dont le premier élément n'est pas nul ;
a un inverse.

L'anneau des entiers p-adiques :

ne possédant pas de diviseurs de zéro ;
il est possible de considérer :
son corps des fractions ;
pour obtenir le corps Qp :
des nombres p-adiques.

On montre facilement que Qp s'obtient :

en ajoutant l'élément (1/p) :
à l'anneau Zp ;
ce que l'on note :
anneau engendré par Zp et (1/p) ;
donnant les expressions polynomiales en (1/p) :
Qp = Zp [1/p].

Ceci vient du fait que p est l'unique :

nombre premier :
de l'anneau Zp ;
(anneau local).

L'équivalent :

pour le passage de Z :
à son corps des fractions Q ;

serait de rajouter :

tous les inverses :
des nombres premiers q :
de Z (en nombre infini) :
Q = Z [..., 1/q , ...] ;

Ceci est lié au procédé :

de décomposition :
en éléments simples ;
comme 65/72 = 1/8 + 2/3 + 1/9 ;

Mais par exemple l'ensemble des nombres décimaux :

(que l'on note D dans les classes élémentaires) ;

est l'anneau Z [1/10] ;

obtenu :
en ajoutant 1/10 :
à Z ;

On dit que l'on a :

"rendu 10 inversible" dans Z ;

ou encore que l'on a :

"localisé" Z en 10.

Ne pas confondre avec :

la représentation décimale usuelle (unique) ;

Exemple :

1/100-7/10 ∈ D s'écrit -6,9.

« duale » philosophie « politique & bio politique » autour de soi comme en soi
 
Aucun lien qui ait déjà envoyé plus d'un visiteur à cette page web n'a encore été enregistré!

Ton lien doit-il s'afficher ici?
Il te suffit de t'inscrire ici:
=> Vers l'inscription
Un kernel des nanomondes
 
Publicité
 
 
Nombre de visiteurs 163117 visiteurs
=> Veux-tu aussi créer une site gratuit ? Alors clique ici ! <=