Un kernel des nanomondes - Les p-adiques sur la route des Chryzodes

Décomposition canonique de Hensel
honeypot

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Soit p un nombre premier.

Tout élément non nul (r) de Q_p :

en particulier tout élément de Q ;

s'écrit de manière unique sous la forme :

∞
r = ∑ a_i pⁱ
i = k

où :

k ∈ Z ;
- a_i sont des nombres entiers tels que :
  - 0 ≤ a_k ≤ p-1

Cette écriture est :

la décomposition canonique de r :
- comme nombre p-adique.

Cette série :

est convergente ;

suivant la métrique p-adique.

On note Z_p l'ensemble des éléments de Q_p tels que k ≥ 0 :

on appelle Z_p l'ensemble des entiers p-adiques.

Z_p est un sous-anneau de Q_p.

On peut représenter :

un entier p-adique :
- par une suite infinie :
vers la gauche :
- de chiffres :
  - en base p ;

tandis que les nombres rationnels purs (fractions irréductibles) de Q_p, eux ;

auront un nombre fini :
- de chiffres :
  - à droite de la virgule.

Cette écriture :

fonctionne en somme à l'inverse de :
- ce que l'on a l'habitude de rencontrer :
  - dans l'écriture des nombres réels.

Exemple, avec p=2 :

Observons une propriété héréditaire :

......001₂+ ......001₂= ......010₂ ;

En effet, additionner 1₂ avec 1₂ en 2-adique :

conduit à décaler vers la gauche :
- une retenue :
  - tout le long de l'écriture ;
    - pour finalement donner uniquement des 0.

1 = 1 (2⁰ ) = ..........00000000000000001₂ (le ₂ en indice indiquant qu'il s'agit du développement 2-adique, ou binaire, de 1)

∞
-1 = ∑ 2ⁿ = ..........1111111111111111111₂
n = 0

Une autre approche raisonnable méthodique :

pour arriver à ce même résultat :
- est de considérer la relation :

∞        ∞                ∞
∑ 2ⁿ     +      ∑ 2ⁿ   = 2 ∑ 2ⁿ = 2¹ [(1)2⁰ + (1)2¹ + (1)2² + ....]
n = 0             n = 0           n = 0
                                                  =      [(1)2¹ + (1)2² + (1)2³ + ... ]
            ∞           ∞            ∞
      =   ∑ 2ⁿ = -1+1 + ∑ 2ⁿ = -1 + ∑ 2ⁿ   = -1 + [(1)2⁰ + (1)2¹ + (1)2²...]
          n = 1                  n = 1          n = 0
                                                                      =       0 + ..........111111111111₂
                                                                      = ......................111111111111₂

En effet, nous retrouvons la propriété héréditaire 01₂ + 01₂= 010₂ ci-dessus.

Donc :
∞
-1 = ∑ 2ⁿ = ..........1111111111111111111₂
       n = 0
par simplification.

Cet argument, évidemment, suppose que la notation :

∞
-1 = ∑ 2ⁿ = ..........1111111111111111111₂
       n = 0

ait un sens, c'est-à-dire que la série soit convergente :

ce qui est le cas pour la métrique 2-adique ;

on se reportera à l'article :

série divergente ;

pour l'analyse d'autres calculs de ce genre.

*********************************************

Soit :
∞
1/3 = 1 + ∑ 2²ⁿ⁺¹ = .................01010101011₂ :
n = 0
en multipliant ce résultat par 3 =............000011₂ , on retrouve 1.

On observe que 1/3 est un entier 2-adique (i.e. 1/3 ∈ Z₂).

Mais on le savait déjà en observant sa valuation :

v₂(1/3) = v₂(1) - v₂(3) = 0 - 0 = 0.

En effet, comme p=2 est un nombre premier, et n=1 un entier non nul, la valuation 2-adique de 1 est le plus grand entier k tel que 2^k divise 1. Soit k=0.
De même, la valuation 2-adique de 3 est le plus grand entier k^' tel que 2^{k '} divise 3. Soit k^'= 0.

*********************************************

∞
∑ 2^f où f = 2ⁿ
n = 0
représente un élément de Q₂ (et même de Z₂) qui n'est pas dans Z.

*********************************************

Le polynôme 2X²+X+2 :
se factorise dans Z₂ ;
sous la forme (X-a) (2X-b) ;
avec a = .............0111001000100110110₂ ;
b = .............0001101110110010011₂ ;
alors qu'il est irréductible dans Q ou R.

On a :

2a+b = -1 ;
ab = 2.

*********************************************

Un autre exemple, avec p=7 :

2 n'a pas de racine carrée dans Q :

mais en possède deux :
- dans Q₇;

à savoir :

√2 = ...16244246442640361054365536623164112011266421216213₇ ;

et son opposé :

-√2 =...50422420224026305612301130043502554655400245450454₇ ;

Comment calculer dans Q_p

L'addition dans (Q_p ; +) est tout à fait similaire à l'addition dans (R ; +) :

avec le même système de retenues :

Exemple : dans Q₅

         ..¹3¹3¹32¹41₅          on a : 4+4=8=5+3 ; (5 est un reste)
      + ...1 1 21 42₅                  : 3+2=5+0 ;     (5 est un reste)
      = ..10 0 04 33₅

La multiplication se fait de même :

Exemple : dans Q₅

           143₅           3x2=6=5+1 ;         (5 est un reste)
       x    32₅           4x2=8=5+3 ; 3x3=9=5+4 ; 4x3=12=2(5)+2
       *******
           2¹3¹1₅ =     34 1₅
   + 3²2¹4,0₅ = 1034,0₅
       ********   ********
      11 23 1₅

La division de deux entiers dans Z

Écrire 1/3 dans Q₇

Nous observons 1/3 ∈ Z₇ :

car sa valuation 7-adique est 0.

En effet, observons sa valuation :

v₇(1/3) = v₇(1) - v₇(3) = 0 - 0 = 0.

En effet, p=7 étant un nombre premier :

n=1 un entier non nul ;
- la valuation 7-adique de 1 :
  - est le plus grand entier k :
    - tel que 7^k divise 1.
      Soit k=0.

De même :

la valuation 7-adique de 3 :
- est le plus grand entier k ' :
  - tel que 7^{k '} divise 3.
    Soit k '= 0.

Il existe donc :

1/3 = ...a₂a₁a₀ ;
- a_i sont des nombres entiers tels que :
  - 0 ≤ a_i ≤ (6 = 7-1).

Nous venons d'établir que 3 est inversible dans Q₇ :

modulo 7 ;
- puisque (3) 5 = 15 = 1 + (2) 7 ≡ 1[7]

Ceci permet d'utiliser le petit théorème de Bézout :

a et b sont deux entiers naturels :
- différents de 0 :
  - tels que :
    - pgcd(a,b) = d
∃ (u,v) ∈ ZxZ | au+bv = d
- d = 1 = 15 - 14 = (3) 5 - (2) 7 (* théorème de Bézout)
en multipliant par 1/3 les deux membres de l'équation on a :
- 1/3 = (5) 7⁰+ (-2/3) 7¹

À ce stade on a le premier terme 5 de 1/3 = ...a₂a₁a₀ dans Q₇ soit :

1/3 = ...a₂a₁5₇ ;

Ceci permet d'utiliser le théorème de décomposition canonique de Hensel en base p = 7.

∞ ∞

1/3 = ∑ a_i 7ⁱ = 5 + ∑ a_i 7ⁱ

i = 0 i = 1

Essayons d'obtenir une périodicité d'équation type : y = x +y7.

Peut-on itèrer (-2/3) dans :

la décomposition canonique de Hensel ;

de 1/3 = (5) 7⁰+ (-2/3) 7¹ + ... + a_i7ⁱ ?

Multiplions (*) par -2 l'équation :

1 = (3) 5 - (2) 7 (* théorème de Bézout) ;

on a :

-2 = (-2) (3) 5 - (-2) (2) 7 ;

arrangeons en faisant apparaitre :

l'expression type (x + y 7) ;

pour obtenir des facteurs a_i de 7ⁱ tel que a_i ∈ {0,1,2,3,4,5,6} :

-2 = -30 + (4) 7                         expression type (x + y 7)
    = [12 - 6 (7)] + (4) 7
    = 3 [4 - 2 (7)] + (4) 7
    = 3 (4) + [4-3 (2)] 7
    = 3 (4) + 3 [(4/3) - (3/3) 2 ] 7
    = 3 (4) + 3 [(4/3) - (6/3)] 7
    = 3 (4) + 3 (-2/3) 7
    = 3 [4 + (-2/3) 7]

en multipliant par 1/3 les deux membres de l'équation on a :

-2/3 = 4 + (-2/3) 7

on a une périodicité dans l'équation type : y = x +y7, puisqu'on itère (-2/3).

Ceci permet d'utiliser le théorème de décomposition canonique de Hensel en base p = 7.

          ∞                  ∞
1/3 = ∑ a_i 7ⁱ = 5 + ∑ a_i 7ⁱ
        i = 0             i = 1

Au bilan, d'après le théorème de Bézout ci-dessus :

1/3 = 5 (7⁰) + (-2/3) 7¹
      = 5 (7⁰) + [4 + (-2/3) 7] 7¹            équation type : -2/3 = 4 + (-2/3) 7
      = 5 (7⁰) + 4 (7¹) + (-2/3) 7²
      = 5 (7⁰) + 4 (7¹) + [4 + (-2/3) 7] 7²
      = 5 (7⁰) + 4 (7¹) + 4 (7²) + (-2/3) 7³
      = 5 (7⁰) + 4 (7¹) + 4 (7²) + [4 + (-2/3) 7] 7³
      = 5 (7⁰) + 4 (7¹) + 4 (7²) + 4 (7³) + (-2/3) 7⁴
      = ...
      = 5 (7⁰) + 4 (7¹) + 4 (7²) + 4 (7³) + ... + 4_n-1 (7^n-1) + [4_n + (-2/3) 7] 7ⁿ

c'est-à-dire :

1/3 = 5 (7⁰) + 4 (7¹) + 4 (7²) + 4 (7³) + ... + 4_n (7ⁿ) + ...

d'où l'écriture 7-adique :

1/3 = ...44444444444444444444444444444444444444444444445₇

Écrie 4/21 dans Q7

Remarquons tout d'abord que 4/21 ∉ Z₇

En effet, observons sa valuation :

v₇(4/21) = v₇(4) - v₇(21) = 0 - 1 = -1.

En effet, p=7 étant un nombre premier :

n=4 un entier non nul ;
- la valuation 7-adique de 4 :
  - est le plus grand entier k :
    - tel que 7^k divise 4.
      Soit k=0.
De même :
- la valuation 7-adique de 21 :
  - est le plus grand entier k ' :
    - tel que 7^{k '} divise 21.
      Soit k '= 1.

Un Théorème de Kummer affirme que :

la valuation p-adique de (n,m) ;
- c'est à dire le nombre de fois :
  - qu'on peut diviser (n,m) par p ;
est égale :
- au nombre :
de retenues :
- dans l'addition :
de m et de n-m :
- en base p.

Or, la valuation 7-adique de 4/21 est -1 :

ce sera donc un nombre 7-adique "à virgule".

On écrit : 4/21 = 4 /[(3(7)] = (1/7) [4 (1/3)]

Or on sait que 1/3 = ...44444444444444444444444444444444445₇

donc en additionnant :

   1/3 = ...4444444444444445₇
+ 1/3 = ...4444444444444445₇ on a : 5+5=10=3+ (1) 7 retenue 1
= 2/3 = ...2222222222222223₇           4+4+₁=9=2+ (1) 7

Donc :

   2/3 = ...2222222222222223₇
+ 2/3 = ...2222222222222223₇
= 4/3 = ...4444444444444446₇

en multipliant directement par 4 :

1/3 = ...4444444444444445₇
x                                           4     on a : 4 (5)=20=6+2 (7) retenue 2
4/3 = ...4444444444444446₇               4 (4)+2=18=4+2 (7)

Il ne reste plus qu'à diviser par la base 7 :

mais ceci revient à décaler la virgule :
- vers la gauche (on est en base 7) :
  - 4/21 = ...44444444444444444444444444444,6

Propriétés
Non-dénombrabilité

L'ensemble des entiers p-adiques :

n'est pas dénombrable :
- car la décomposition de Hensel ci-dessus :
  - implique qu'il est équipotent :
    - à {0,1,2,...,p-1}^N

Propriétés algébriques

Les nombres p-adiques :

contiennent les nombres rationnels :
- forment un corps :
  - de caractéristique nulle.

Un nombre positif x_o :

est rationnel :
- si, et seulement si ;
son développement p-adique :
- est périodique :
à partir d'un certain rang r_o ;
- c'est-à-dire :
s'il existe :
- 2 entiers r_o ≥ 0 ; k>0 :
tel que pour tous entiers n ≥ r_o ;
- a_n+k=a_k ;
La suite a_n représentant :
- le développement p-adique :
du nombre positif x_o.

Il n'est pas possible d'en faire un corps totalement ordonné :

puisque le lemme de Hensel permet de montrer que :
- dans Z₂ :
  1. -7 est un carré ;
  2. pour p > 2 :
    - -(p-1) est un carré :
      - dans Z_p.

Topologie

sur l'ensemble
des entiers p-adiques
est celle de
l'ensemble de Cantor

La topologie sur l'ensemble des nombres p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor :

privé d'un point :
qui serait naturellement appelé infini.

En particulier :

l'espace des entiers p-adiques :
- est compact ;

tandis que :

l'espace des nombres p-adiques :
- ne l'est que localement.

En tant qu'espaces métriques :

les entiers et les nombres p-adiques :
- sont complets.

Les nombres réels :

n'ont qu'une seule extension algébrique propre ;

les nombres complexes.

En d'autres termes, cette extension quadratique est algébriquement close.

En revanche :

la clôture algébrique :
- des nombres p-adiques :
est de degré infini.

Les corps Q_p :

ont une infinité :
- d'extensions algébriques :
  - non équivalentes.

De plus, la clôture algébrique d'un Q_p n'est pas complète.

Sa complétion métrique :

est appelée Ω_p ;
- elle est algébriquement close.

Le corps Ω_p :

aussi noté Cp ;

est abstraitement isomorphe :

au corps C des nombres complexes ;
- il est possible de considérer Ω_p comme Cp ;
  - muni d'une métrique exotique.

Cependant :

l'existence d'un tel isomorphisme :
- est une conséquence :
  - de l'axiome du choix ;
il n'est pas possible d'en expliciter un.

Les nombres p-adiques :

contiennent le n^e corps cyclotomique :
- si et seulement si :
n divise p-1.

Exemple :

les 1er, 2e, 3e, 4e ;
- 6e et 12e corps cyclotomiques :
sont des sous-corps de Q13.

Le nombre e défini par la série :

∑ 1/n! ;

n'est élément d'aucun des corps p-adiques.

Cependant, e^p défini par la série :

∑ pⁿ/n! ;

est un nombre p-adique :

sauf si p=2 ;

mais e⁴ est un nombre 2-adique ;

aussi e ;
- défini comme une racine p-ième de e^p ;
est un élément :
- de la clôture algébrique :
  - de n'importe quel corps p-adique ;
ainsi :
- quel que soit p :
  - e ∈ C_p.

Sur les nombres réels :

les seules fonctions :
- dont les dérivées sont nulles :
sont les fonctions constantes.

Ceci n'est pas vrai :

sur les nombres p-adiques.

Exemple, la fonction

f : Q_p → Q_p | x → {1/(|x|_p)}² si x ≠ 0 ;
f : Q_p → Q_p | x → 0 si x = 0 ;

possède une dérivée nulle :

en tous points ;

mais n'est même pas constante localement en 0.

Si on se donne les éléments :

r, r₂, r_{3 ;}
r₅, r₇, ... ;
- respectivement membres de R, Q₂, Q₃, Q₅, Q₇, ... ;
il est possible :
- de trouver une suite (x_n) de Q :
  - telle que la limite des x_n dans R soit r ;
pour tout nombre p premier ;
- elle soit r_p dans Q_p.