Un kernel des nanomondes - Les p-adiques sur la route des Chryzodes

Les p-adiques
sur la route des Chryzodes

Arithmétique Créative

En mathématiques, plus particulièrement en théorie des nombres :

convenons que si p est :
- un nombre premier
  (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...) :
alors un nombre p-adique :
- est un objet qui :
peut se concevoir comme :
- une suite de chiffres :
  - en base p ;
    - éventuellement infinie à gauche de la virgule ;
    - mais toujours finie à droite de la virgule.

Si on convient de munir d'une addition (+) et d'une multiplication (x) :

où (+ ; x) sont utilisées comme pour les nombres décimaux usuels ;

alors l'ensemble :

des nombres p-adiques ;

forme un corps commutatif noté Q_p.

Convenons qu'un nombre 2-adique est parfois appelé « diadique » :

mais ne doit pas être confondu avec une fraction dyadique.

Convenons qu'un nombre 3-adique est parfois appelé « triadique ».

Chaque corps Q_p :

des nombres p-adiques ;

est construit par complétion :

du corps Q des nombres rationnels :

lorsque Q_p est muni d'une valeur absolue ;

nommée valeur absolue p-adique.

Cette construction s'apparente à celle du corps R des nombres réels par complétion du corps des rationnels suivant la valeur absolue usuelle.

La principale motivation :

ayant donné naissance :
- aux corps des nombres p-adiques ;

était de pouvoir utiliser les techniques :

des séries entières ;
- dans la théorie des nombres ;

mais leur utilité dépasse aujourd’hui de beaucoup ce cadre.

De plus, la valeur absolue p-adique sur le corps Q_p est :

une valeur absolue non-archimédienne ;

on obtient sur ce corps une analyse différente :

de l'analyse usuelle sur les réels ;

que l'on appelle analyse p-adique.

Construction
Approche analytique

Les nombres réels :

sont définis comme des :

classes d'équivalence :

des suites de Cauchy :

des nombres rationnels.

Cependant :

cette définition repose sur la métrique choisie ;

en en choisissant une autre :

d'autres nombres :
- que les nombres réels ;
peuvent être construits.

La métrique :

utilisée pour les nombres réels :

est appelée métrique euclidienne.

Pour un nombre premier donné p :

on définit :
- la valeur absolue p-adique sur Q ;

comme suit :

on appelle valuation p-adique :
- d'un entier (a) non nul :
  - (et l'on note v_p(a)) ;
l'exposant de p :
- dans la décomposition de (a) :
  - en produit :
    - de facteurs premiers
      (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...).

on peut alors construire une valuation pour tout nombre rationnel (r) non nul en posant :

v_p(a / b) = v_p(a) - v_p(b) [où r = a / b] ;

On prouve aisément que cette définition :

est indépendante du représentant (1/2 ; 2/4 ; 3/6 ; ...) du rationnel (r) choisi.

La valeur absolue p-adique |r|_p d'un rationnel (r) non nul vaut (1/p)^v_p(r).

Cette valeur absolue est dite normalisée.

On pourrait prendre b^v_p(r) :

pour tout réel positif : 0<b<1.

On obtiendrait une valeur absolue équivalente (même topologie).

L'avantage :

de la normalisation précédente :

est la « formule du produit » (immédiate) :

|r|_∞ . Π_p |r|_p= 1 ;

pour tout rationnel (r) non nul ;

où |.|_∞ est la valeur absolue usuelle sur Q.

Cette formule montre que :

les valeurs absolues sur Q :
- (à équivalence près) ;
ne sont pas indépendantes.

Si (r) est nul, on pose |r|_p = 0.

Ce prolongement :

est compatible avec l'idée que 0 est divisible par p^k :
- pour toute valeur de (k) ;

donc que :

la valuation de 0 ;
- serait infinie.

En quelque sorte :

plus (r) est divisible par p ;
plus sa valeur absolue p-adique est petite ;
- (c'est un cas particulier de valuation discrète, un outil algébrique).

Exemple :
si      r = (a / b) = (63       / 550) ;
                         = [9 (7)] / [2 (25) 11] ;
                         = [3² (7)] / [2 (5²) 11] ;

alors r = 2^-1 (3²) 5^-2 (7¹) 11^-1 ;

     |r|₂ = (1/p)^v_p(r) = (1/2)^v₂(63/550) ;
           = (1/2)^{v₂(63) - v₂(550)} = 2 ;
En effet, comme p=2 est un nombre premier, et n=63 un entier non nul, la valuation 2-adique de 63 est le plus grand entier k tel que 2^k divise 63. Soit k=0.
De même, la valuation 2-adique de 550 est le plus grand entier k^' tel que 2^{k '} divise 550. Soit k^'=1.
     |r|₃ = (1/p)^v_p(r) = (1/3)^v₃(63/550) ;
           = (1/3)^{v₃(63) - v₃(550)} = 1/9 = 1/(3²) ;
     |r|₅ = (1/p)^v_p(r) = (1/5)^v₅(63/550) ;
           = (1/5)^{v₅(63) - v₅(550)} = 25 = 5² ;
     |r|₇ = (1/p)^v_p(r) = (1/7)^v₇(63/550) ;
           = (1/7)^{v₇(63) - v₇(550)} = 1/7 ;
     |r|₁₁= (1/p)^v_p(r) = (1/11)^{v₁₁(63/550)} ;
           = (1/11)^{v₁₁(63) - v₁₁(550)} = 11
     |r|_p = 1 pour tout autre nombre premier.

On démontre que cette application :

a toutes les propriétés :
- d'une valeur absolue.

On peut montrer que :

toute valeur absolue (non-triviale) sur Q est équivalente :
1. soit à la valeur absolue euclidienne ;
2. soit à une valeur absolue p-adique (théorème d'Ostrowski).

Une valeur absolue p-adique définit une métrique d_p sur Q en posant :

d_p(x,y) = |x-y|_{p ;}

Le corps Q_p :

des nombres p-adiques ;

peut alors être défini comme :

la complétion de l'espace métrique (Q ; d_p).

Ses éléments sont :

les classes d'équivalences :
- des suites de Cauchy ;
  - où deux suites :
    - sont dites :
  - équivalentes :
    - si leur différence converge vers zéro.

De cette façon :

on obtient :
- un espace métrique complet ;
  - qui est aussi un corps :
    - qui contient Q.

Cette construction :

permet de comprendre :
- pourquoi Q_p est un analogue arithmétique de R.

Quelques différences entre Q_p et R

Outre le fait que, par construction :

Q_p et R sont des espaces métriques complets

il faut avoir noté que :

le monde p-adique se comporte de façon très différente du monde réel

et ceci commence par le fait que :

la distance d_p est ultramétrique

au sens où :

d_p(x ; z) < ou = max [d_p(x ; y) ; d_p(y ; z)]

pour tous x ; y ; z dans Q_p.

Conséquences (non exhaustives)

tout triangle est isocèle ;
toute boule est centrée en n'importe lequel de ses points ;
deux boules sont soit incluses l'une dans l'autre, soit disjointes ;
dans Q_p : la suite (pⁿ)_n∈_N tend vers 0 ;
si dans Q_p une suite (u_n) converge vers un élément x non nul ;
alors |u_n|_p est constante à partir d'un certain rang ;
une suite (u_n) est de Cauchy si et seulement si :
lim u_(n+1)-u_n= 0 ;
n → ∞ ;
une série Sigma (a_n) converge si et seulement si :
lim a_n= 0 ;
n → ∞ ;
Q_p n'est pas :
un corps totalement ordonnable (cf infra, Propriétés algébriques) ;
Q_pest un espace totalement discontinu :
c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre composante connexe ;
la suite (5/7)^_n :
n → ∞ ;
tend vers 0 dans R et Q₅ ;
mais vers l'infini dans Q₇ ;
dans les autres Q_p, elle ne converge pas ;
etc...

Construction
Approche algébrique

Dans cette approche algébrique :

on commence par définir l'anneau :
- commutatif :
  - des entiers p-adiques ;

puis par construction :

le corps des fractions :
- de cet anneau :
pour obtenir le corps des nombres p-adiques.

On définit :

l'anneau des entiers p-adiques Z_p ;

comme :

la limite projective des anneaux Z / pⁿZ.

Un entier p-adique est alors :

une suite (a_n)_{n ≥ 1} ;
- telle que pour tout n ≥ 1 :
  - a_n ∈ Z /pⁿZ ;
  - a_n ≡ a_n+1 (mod pⁿ) (congruence modulo pⁿ).

Exemple :

35 :
- en tant que nombre 2-adique ;
serait la suite (1,3,3,3,3,35,35,35 ...).

Explication :

35 = 1 + 2¹ + 2⁵ ;
- que l'on peut aussi écrire :
35 = (1 x 2⁰) + (1 x 2¹) + (0 x 2²) + (0 x 2³) + (0 x 2⁴) + (1 x 2⁵) + (0 x 2⁶) + ...

La suite (a_n) s'obtient en faisant :

les sommes cumulées des x_i2ⁱ (où x_i ∈ {0;1}) :
- a₁=1,
- a₂=1+2=3,
- a₃=1+2+0=3,
- a₄=1+2+0+0=3,
- a₅=1+2+0+0+0=3,
- a₆=1+2¹+0+0+0+0+2⁵=35 ...

On a bien :

pour tout n ≥ 1 :
- 0 ≤ a_n < 2ⁿ ;
a_n ≡ a_n+1 (mod 2ⁿ) ;
- puisque a_n+1 = a_n + x_n+12ⁿ⁺¹.

L'addition et la multiplication de telles suites sont bien définies :

puisqu'elles commutent :
- avec l'opérateur modulo ;
  - (voir arithmétique modulaire).

De plus :

toute suite (a_n) :
- dont le premier élément n'est pas nul ;
a un inverse.

L'anneau des entiers p-adiques :

ne possédant pas de diviseurs de zéro ;
- il est possible de considérer :
  - son corps des fractions ;
- pour obtenir le corps Q_p :
  - des nombres p-adiques.

On montre facilement que Qp s'obtient :

en ajoutant l'élément (1/p) :
- à l'anneau Zp ;
ce que l'on note :
- anneau engendré par Zp et (1/p) ;
donnant les expressions polynomiales en (1/p) :
- Qp = Zp [1/p].

Ceci vient du fait que p est l'unique :

nombre premier :
- de l'anneau Zp ;
  - (anneau local).

L'équivalent :

pour le passage de Z :
- à son corps des fractions Q ;

serait de rajouter :

tous les inverses :
- des nombres premiers q :
  - de Z (en nombre infini) :
Q = Z [..., 1/q , ...] ;

Ceci est lié au procédé :

de décomposition :
- en éléments simples ;
comme 65/72 = 1/8 + 2/3 + 1/9 ;

Mais par exemple l'ensemble des nombres décimaux :

(que l'on note D dans les classes élémentaires) ;

est l'anneau Z [1/10] ;

obtenu :
- en ajoutant 1/10 :
à Z ;

On dit que l'on a :

"rendu 10 inversible" dans Z ;

ou encore que l'on a :

"localisé" Z en 10.

Ne pas confondre avec :

la représentation décimale usuelle (unique) ;

Exemple :

1/100-7/10 ∈ D s'écrit -6,9.

suite